1. 阿波羅尼斯圓
在平面上給定相異兩點A、B，設P點在同一平面上且滿足PA/PB= λ， 當λ>0且λ≠1時，P點的軌跡是個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓。
2. 阿波羅尼斯圓的二級結論
①若m=n，則結論就是線段AB的垂直平分線；
②若n≠m，設|AB|=L，以AB為x軸建立坐標系， 設A=(-Ln/(m+n),0)，B=(Lm/(m+n)，0)，P=(x,y)， PA/PB=n/m → (m*PA)^2=(n*PB)^2 → (m^2)【[x+Ln/(m+n)]^2+y^2】=(n^2)【[x-Lm/(m+n)]^2+y^2】 → x^2+y^2=[2mnL/(n^2-m^2)]x. 這就是【阿波羅尼斯圓】。 也可以用幾何方法求軌跡，但需要用到內(nèi)角平分線性質和外角平分線性質。
3. 阿波羅尼斯圓在高考中的應用
初中學的，阿氏圓定理介紹 全稱：阿波羅尼斯圓定理 定義：一動點 P 到兩定點 A、B 的距離之比等于定比 m：n（m≠n） ，則 P 點的 軌跡，是以定比 m：n 內(nèi)分和外分定線段 AB 的兩個分點的連線為直徑的圓。該 圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓。
作法：在線段 AB 上取一點（不妨 AC>BC） ，以 AC/BC=k 的比值在 AB 延長線 上再找一點 D，使得 AD/BD=k，以 CD 為直徑畫圓，圓上任意一點 P，都能滿足 PA/PB=k，其中點 C 為內(nèi)分點，點 D 為外分點。 證明： 設A （a， 0） ， B （0， 0）
4. 阿波羅尼斯圓的定義
設M，N是平面上兩個定點，則滿足|PM|=k|PN|（k>0，k≠1）的點的軌跡是一個圓，通常稱之為阿波羅尼斯圓，其中k為比例常數(shù)，此圓的圓心在直線MN上.隨之產(chǎn)生一個問題，對于任意一個圓和常數(shù)k（k≠1），如何尋找兩定點M，N，使圓上任意一點P滿足阿氏圓的定義|PM|=k|PN|（k≠1）
公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在前人的基礎上寫了一部劃時代的著作《圓錐曲線論》，該書給出了當時數(shù)學家們所研究的六大軌跡問題，其中之一便是“到兩個定點的距離之比等于不為1的常數(shù)的軌跡是圓”，簡稱“阿氏圓”。
5. 阿波羅尼斯圓的幾何證明
簡單談一下它們是什么，在高中是否有用：
1阿波羅尼斯圓即圓的第二定義，平面內(nèi)到兩個定點距離之比為定值的點的軌跡是一個圓，高中偶爾作為背景，會識別即可，方程自己設坐標就能算2特征根方程或不動點法用于求某些數(shù)列的通項，但是高考中不會出現(xiàn)（用待定系數(shù)法就可以了），模擬題中有一類an+1=Aan+B/Can+D偶爾出現(xiàn)需要用該方法3超越方程高中不可能讓你解比如e^x=1/x.4洛必達法則求未定式極限，導數(shù)答題中分離參數(shù)后經(jīng)常遇到0/0型極限，需要用該法則，可以學習一下，但高考會逐漸回避這個問題。
5泰勒公式，將函數(shù)用多項式近似替代，高考中常作為不等式出題背景，還可以估值，14年二卷估算ln2可以用它估。在高中只需記住幾個最重要不等式的變形就可以了
6. 阿波羅尼斯圓定理性質
阿氏圓定理（阿波羅尼斯圓定理）：若一動點P 到兩定點A,B之間的距離之比為定值k, 則點P的軌跡是以定比k內(nèi)分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓
平面內(nèi)到兩定點距離之和為定值得橢圓，之差為定值得雙曲線，現(xiàn)在的之比為定值又得到了圓。所以說，將“阿氏圓定理”看作“圓的第二定義”
7. 阿波羅尼斯圓公式
高考中如果使用大學知識解題理論上會扣分，因為出題畢竟是出發(fā)點對當前自己所學的知識點的理解，至于延伸外的東西當然也需要適當?shù)墓膭?。我國自古以來講究的是踏實穩(wěn)重，而不是揠苗助長，所以高考中盡量用所學知識去答題，延伸之外的東西作為亮點可以適當?shù)募右稽c就好。
8. 阿波羅尼斯圓結論
在平面上給定相異兩點A、B，設P點在同一平面上且滿足PA/PB= λ， 當λ>0且λ≠1時，P點的軌跡是個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓。這個結論稱作阿波羅尼斯軌跡定理。設M、N分別為線段AB按定比λ分割的內(nèi)分點和外分點，則MN為阿波羅尼斯圓的直徑，且MN=〔2λ／（λ^2-1）〕AB。
9. 阿波羅尼斯圓定理證明
阿波羅尼斯（Apollonius）圓，簡稱阿氏圓。 在平面上給定相異兩點A、B，設P點在同一平面上且滿足PA/PB= λ，當λ>0且λ≠1時，P點的軌跡是個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓。這個結論稱作阿波羅尼斯軌跡定理。設M、N分別為線段AB按定比λ分割的內(nèi)分點和外分點，則MN為阿波羅尼斯圓的直徑，且MN=［２λ／（λ^2-1）］AB。我們可以通過公式推導出AN的長度：AN:BN＝AP:BP ，其中BN=AN+AB，所以AN:(AN+AB)＝AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP)，以NP為直徑的圓就是我們所求的軌跡圓。
由阿波羅尼斯圓可得阿波羅尼斯定理，即： 設三角形的三邊和三中線分別為a、b、c、ma(a為下標，下同）、mb、mc，則有以下關系： b^2+c^2=a^2/2+2ma^2； c^2+a^2=b^2/2+2mb^2； a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。 （此定理用余弦定理和勾股定理可以證明）。
10. 阿波羅尼斯圓性質
阿氏圓是阿波羅尼斯圓的簡稱，已知平面上兩點A、B，則所有滿足PA/PB=k且不等于1的點P的軌跡是一個以定比m：n內(nèi)分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓。這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓。
應用：可知阿氏圓上任意一點Р到點A和點B的距離比都是定值k，那么在證明過程中可以用這個原理,就是說如果我們知道了圓上一點到直徑上兩定點的距離比，那么就可以知道圓上另一點到兩定點的距離比。