菲爾馬定律，費(fèi)爾馬定理

當(dāng)整數(shù)n > 2時(shí)，關(guān)于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 的整數(shù)解都是平凡解，即 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)：(0,±m(xù),±m(xù))或(±m(xù),0,±m(xù)) （補(bǔ)充：（0，0，0）是其中一個(gè)特殊解2008年由趙浩杰提出） 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0) 這個(gè)定理，本來(lái)又稱費(fèi)馬最后定理，由17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出，而當(dāng)時(shí)人們稱之為“定理”，并不是真的相信費(fèi)馬已經(jīng)證明了它。雖然費(fèi)馬宣稱他已找到一個(gè)絕妙證明，但經(jīng)過(guò)三個(gè)半世紀(jì)的努力，這個(gè)世紀(jì)數(shù)論難題才由普林斯頓大學(xué)英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯和他的學(xué)生理查·泰勒于1995年成功證明。證明利用了很多新的數(shù)學(xué)，包括代數(shù)幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數(shù)等，令人懷疑費(fèi)馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)由于成功證明此定理，獲得了1998年的菲爾茲獎(jiǎng)特別獎(jiǎng)以及2005年度邵逸夫獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。

費(fèi)爾馬定理即費(fèi)馬大定理。費(fèi)馬提出當(dāng)n>2時(shí)，方程x^n+y^n＝z^n無(wú)整數(shù)解。公元17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家皮耶·德·費(fèi)馬提出費(fèi)馬猜想，但沒(méi)有給出證明。 1678年G·W萊布尼茲證明了n=4時(shí)定理成立。1770年C·歐拉證明了n=3和4的情形，P·G狄利克雷和G·拉梅分別證明了n=5和7的情形。1884年E·E庫(kù)默爾創(chuàng)立了理想數(shù)，從而證明了當(dāng)n是介于2與100之間的奇數(shù)p(除去(p=37，59和67)時(shí)，定理成立。 1995年，安德魯·懷爾斯等人將費(fèi)馬猜想證明過(guò)程發(fā)表在《數(shù)學(xué)年刊》，成功證明了這一定理。猜想提出大約在1637年左右，法國(guó)學(xué)者費(fèi)馬在閱讀丟番圖（Diophatus）《算術(shù)》拉丁文譯本時(shí)，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個(gè)立方數(shù)分成兩個(gè)立方數(shù)之和，或一個(gè)四次冪分成兩個(gè)四次冪之和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分成兩個(gè)同次冪之和，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法 ，可惜這里空白的地方太小，寫不下?！庇捎谫M(fèi)馬沒(méi)有寫下證明，而他的其它猜想對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)良多，由此激發(fā)了許多數(shù)學(xué)家對(duì)這一猜想的興趣。數(shù)學(xué)家們的有關(guān)工作豐富了數(shù)論的內(nèi)容，涉及許多數(shù)學(xué)手段，推動(dòng)了數(shù)論的發(fā)展。

17世紀(jì)的一位法國(guó)數(shù)學(xué)家，提出了一個(gè)數(shù)學(xué)難題，使得后來(lái)的數(shù)學(xué)家一籌莫展，這個(gè)人就是費(fèi)馬(1601——1665)。 這道題是這樣的：當(dāng)n>2時(shí)，不定方程 x^n+y^n=z^n 沒(méi)有正整數(shù)解。在數(shù)學(xué)上這稱為“費(fèi)馬大定理”又稱為“書(shū)邊定理”，“費(fèi)爾馬大定理”。為了獲得它的一個(gè)肯定的或者否定的證明，歷史上幾次懸賞征求答案，一代又一代最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家都曾研究過(guò)，即使用現(xiàn)代的電子計(jì)算機(jī)也只能證明：當(dāng)n小于等于4100萬(wàn)時(shí)，費(fèi)馬大定理是正確的。由于當(dāng)時(shí)費(fèi)馬聲稱他已解決了這個(gè)問(wèn)題，但是他沒(méi)有公布結(jié)果，于是留下了這個(gè)數(shù)學(xué)難題中少有的千古之謎。 被公認(rèn)執(zhí)世界報(bào)紙牛耳地位的紐約時(shí)報(bào)于1993年6月24日在其一版頭題刊登了一則有關(guān)數(shù)學(xué)難題得以解決的消息，那則消息的標(biāo)題是『在陳年數(shù)學(xué)困局中，終于有人呼叫『我找到了」』。 五十年代日本數(shù)學(xué)家谷山豐首先提出一個(gè)有關(guān)橢圓曲線的猜想，后來(lái)由另一位數(shù)學(xué)家志村五郎加以發(fā)揚(yáng)光大，當(dāng)時(shí)沒(méi)有人認(rèn)為這個(gè)猜想與費(fèi)馬定理有任何關(guān)聯(lián)。在八十年代德國(guó)數(shù)學(xué)家佛列將谷山豐的猜想與費(fèi)馬定理聯(lián)系在一起，而安德魯·懷爾斯所做的正是根據(jù)這個(gè)關(guān)聯(lián)論證出一種形式的谷山豐猜想是正確的，進(jìn)而推出費(fèi)馬最后定理也是正確的。 這個(gè)結(jié)論由威利斯在1993年的6月21日於美國(guó)劍橋大學(xué)牛頓數(shù)學(xué)研究所的研討會(huì)正式發(fā)表，這個(gè)報(bào)告馬上震驚整個(gè)數(shù)學(xué)界，就是數(shù)學(xué)門墻外的社會(huì)大眾也寄以無(wú)限的關(guān)注。不過(guò)懷爾斯的證明馬上被檢驗(yàn)出有少許的瑕疵，於是懷爾斯與他的學(xué)生又花了十四個(gè)月的時(shí)間再加以修正。1994年9月19日他們終於交出完整無(wú)瑕的解答，數(shù)學(xué)界的夢(mèng)魘終於結(jié)束。1997年6月，懷爾斯在德國(guó)哥庭根大學(xué)領(lǐng)取了佛爾夫斯克爾獎(jiǎng)。當(dāng)年的十萬(wàn)法克約為兩百萬(wàn)美金，不過(guò)懷爾斯領(lǐng)到時(shí)，只值五萬(wàn)美金左右，但安德魯·懷爾斯已經(jīng)名列青史，永垂不朽了。 此外，在今年愚人節(jié)當(dāng)天，有一條新聞：2008年3月31日，美國(guó)Stetson大學(xué)的一位數(shù)學(xué)教授找到了一個(gè)反例，證明了費(fèi)馬大定理是錯(cuò)的，只不過(guò)數(shù)字太大了，最小的一個(gè)也有1297位。事實(shí)上……這是騙人的?。。。。。。。。。?！

17世紀(jì)的一位法國(guó)數(shù)學(xué)家，提出了一個(gè)數(shù)學(xué)難題，使得后來(lái)的數(shù)學(xué)家一籌莫展，這個(gè)人就是費(fèi)馬(1601——1665)。這道題是這樣的：當(dāng)n>2時(shí)，x^n+y^n=z^n沒(méi)有正整數(shù)解。在數(shù)學(xué)上這稱為“費(fèi)馬大定理”。為了獲得它的一個(gè)肯定的或者否定的證明，歷史上幾次懸賞征求答案，一代又一代最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家都曾研究過(guò)，即使用現(xiàn)代的電子計(jì)算機(jī)也只能證明：當(dāng)n小于等于4100萬(wàn)時(shí)，費(fèi)馬大定理是正確的。由于當(dāng)時(shí)費(fèi)馬聲稱他已解決了這個(gè)問(wèn)題，但是他沒(méi)有公布結(jié)果，于是留下了這個(gè)數(shù)學(xué)難題中少有的千古之謎。 17世紀(jì)伊始，就預(yù)示了一個(gè)頗為壯觀的數(shù)學(xué)前景。而事實(shí)上，這個(gè)世紀(jì)也正是數(shù)學(xué)史上一個(gè)輝煌的時(shí)代。幾何學(xué)首先成了這一時(shí)代最引入注目的引玉之明珠，由于幾何學(xué)的新方法—代數(shù)方法在幾何學(xué)上的應(yīng)用，直接導(dǎo)致了解析幾何的誕生；射影幾何作為一種嶄新的方法開(kāi)辟了新的領(lǐng)域；由古代的求積問(wèn)題導(dǎo)致的極微分割方法引入幾何學(xué)，使幾何學(xué)產(chǎn)生了新的研究方向，并最終促進(jìn)了微積分的發(fā)明。幾何學(xué)的重新崛起是與一代勤于思考、富于創(chuàng)造的數(shù)學(xué)家是分不開(kāi)的，費(fèi)馬就是其中的一位。對(duì)解析幾何的貢獻(xiàn)費(fèi)馬獨(dú)立于笛卡兒發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理。1629年以前，費(fèi)馬便著手重寫公元前三世紀(jì)古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼奧斯失傳的《平面軌跡》一書(shū)。他用代數(shù)方法對(duì)阿波羅尼奧斯關(guān)于軌跡的一些失傳的證明作了補(bǔ)充，對(duì)古希臘幾何學(xué)，尤其是阿波羅尼奧斯圓錐曲線論進(jìn)行了總結(jié)和整理，對(duì)曲線作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰寫了僅有八頁(yè)的論文《平面與立體軌跡引論》。費(fèi)馬于1636年與當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家梅森、羅貝瓦爾開(kāi)始通信，對(duì)自己的數(shù)學(xué)工作略有言及。但是《平面與立體軌跡引論》的出版是在費(fèi)馬去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到費(fèi)馬的工作，而現(xiàn)在看來(lái)，費(fèi)馬的工作卻是開(kāi)創(chuàng)性的?！镀矫媾c立體軌跡引論》》中道出了費(fèi)馬的發(fā)現(xiàn)。他指出：“兩個(gè)未知量決定的—個(gè)方程式，對(duì)應(yīng)著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線。”費(fèi)馬的發(fā)現(xiàn)比笛卡爾發(fā)現(xiàn)解析幾何的基本原理還早七年。費(fèi)馬在書(shū)中還對(duì)一般直線和圓的方程、以及關(guān)于雙曲線、橢圓、拋物線進(jìn)行了討論。笛卡兒是從一個(gè)軌跡來(lái)尋找它的方程的，而費(fèi)馬則是從方程出發(fā)來(lái)研究軌跡的，這正是解析幾何基本原則的兩個(gè)相反的方面。在1643年的一封信里，費(fèi)馬也談到了他的解析幾何思想。他談到了柱面、橢圓拋物面、雙葉雙曲面和橢球面，指出：含有三個(gè)未知量的方程表示一個(gè)曲面，并對(duì)此做了進(jìn)一步地研究。對(duì)微積分的貢獻(xiàn)16、17世紀(jì)，微積分是繼解析幾何之后的最璀璨的明珠。人所共知，牛頓和萊布尼茨是微積分的締造者，并且在其之前，至少有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的發(fā)明做了奠基性的工作。但在諸多先驅(qū)者當(dāng)中，費(fèi)馬仍然值得一提，主要原因是他為微積分概念的引出提供了與現(xiàn)代形式最接近的啟示，以致于在微積分領(lǐng)域，在牛頓和萊布尼茨之后再加上費(fèi)馬作為創(chuàng)立者，也會(huì)得到數(shù)學(xué)界的認(rèn)可。曲線的切線問(wèn)題和函數(shù)的極大、極小值問(wèn)題是微積分的起源之一。這項(xiàng)工作較為古老，最早可追溯到古希臘時(shí)期。阿基米德為求出一條曲線所包任意圖形的面積，曾借助于窮竭法。由于窮竭法繁瑣笨拙，后來(lái)漸漸被人遺忘、直到16世紀(jì)才又被重視。由于開(kāi)普勒在探索行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，遇到了如何確定橢圓形面積和橢圓弧長(zhǎng)的問(wèn)題，無(wú)窮大和無(wú)窮小的概念被引入并代替了繁瑣的窮竭法。盡管這種方法并不完善，但卻為自卡瓦列里到費(fèi)馬以來(lái)的數(shù)學(xué)家開(kāi)辟?gòu)S一個(gè)十分廣闊的思考空間。費(fèi)馬建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法，對(duì)微積分做出了重大貢獻(xiàn)。對(duì)概率論的貢獻(xiàn)早在古希臘時(shí)期，偶然性與必然性及其關(guān)系問(wèn)題便引起了眾多哲學(xué)家的興趣與爭(zhēng)論，但是對(duì)其有數(shù)學(xué)的描述和處理卻是15世紀(jì)以后的事。l6世紀(jì)早期，意大利出現(xiàn)了卡爾達(dá)諾等數(shù)學(xué)家研究骰子中的博弈機(jī)會(huì)，在博弈的點(diǎn)中探求賭金的劃分問(wèn)題。到了17世紀(jì)，法國(guó)的帕斯卡和費(fèi)馬研究了意大利的帕喬里的著作《摘要》，建立了通信聯(lián)系，從而建立了概率學(xué)的基礎(chǔ)。費(fèi)馬考慮到四次賭博可能的結(jié)局有2×2×2×2＝16種，除了一種結(jié)局即四次賭博都讓對(duì)手贏以外，其余情況都是第一個(gè)賭徒獲勝。費(fèi)馬此時(shí)還沒(méi)有使用概率一詞，但他卻得出了使第一個(gè)賭徒贏得概率是15／16，即有利情形數(shù)與所有可能情形數(shù)的比。這個(gè)條件在組合問(wèn)題中一般均能滿足，例如紙牌游戲，擲銀子和從罐子里模球。其實(shí)，這項(xiàng)研究為概率的數(shù)學(xué)模型一概率空間的抽象奠定了博弈基礎(chǔ)，盡管這種總結(jié)是到了1933年才由柯?tīng)柲炅_夫作出的。費(fèi)馬和帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率論的基本原則——數(shù)學(xué)期望的概念。這是從點(diǎn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)始的：在一個(gè)被假定有同等技巧的博弈者之間，在一個(gè)中斷的博弈中，如何確定賭金的劃分，已知兩個(gè)博弈者在中斷時(shí)的得分及在博弈中獲勝所需要的分?jǐn)?shù)。費(fèi)馬這樣做出了討論：一個(gè)博弈者A需要4分獲勝，博弈者B需要3分獲勝的情況，這是費(fèi)馬對(duì)此種特殊情況的解。因?yàn)轱@然最多四次就能決定勝負(fù)。一般概率空間的概念，是人們對(duì)于概念的直觀想法的徹底公理化。從純數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看，有限概率空間似乎顯得平淡無(wú)奇。但一旦引入了隨機(jī)變量和數(shù)學(xué)期望時(shí)，它們就成為神奇的世界了。費(fèi)馬的貢獻(xiàn)便在于此。對(duì)數(shù)論的貢獻(xiàn)17世紀(jì)初，歐洲流傳著公元三世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖所寫的《算術(shù)》一書(shū)。l621年費(fèi)馬在巴黎買到此書(shū)，他利用業(yè)余時(shí)間對(duì)書(shū)中的不定方程進(jìn)行了深入研究。費(fèi)馬將不定方程的研究限制在整數(shù)范圍內(nèi)，從而開(kāi)始了數(shù)論這門數(shù)學(xué)分支。費(fèi)馬在數(shù)論領(lǐng)域中的成果是巨大的，其中主要有：(1)全部素?cái)?shù)可分為4n+1和4n+3兩種形式。(2)形如4n+1的素?cái)?shù)能夠，而且只能夠以一種方式表為兩個(gè)平方數(shù)之和。(3)沒(méi)有一個(gè)形如4n+3的素?cái)?shù)，能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和。(4)形如4n+1的素?cái)?shù)能夠且只能夠作為一個(gè)直角邊為整數(shù)的直角三角形的斜邊；4n+1的平方是且只能是兩個(gè)這種直角三角形的斜邊；類似地，4n+1的m次方是且只能是m個(gè)這種直角三角形的斜邊。(5)邊長(zhǎng)為有理數(shù)的直角三角形的面積不可能是一個(gè)平方數(shù)。(6)4n+1形的素?cái)?shù)與它的平方都只能以一種方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和；它的3次和4次方都只能以兩種表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和；5次和6次方都只能以3種方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和，以此類推，直至無(wú)窮。對(duì)光學(xué)的貢獻(xiàn)費(fèi)馬在光學(xué)中突出的貢獻(xiàn)是提出最小作用原理，也叫最短時(shí)間作用原理。這個(gè)原理的提出源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。早在古希臘時(shí)期，歐幾里得就提出了光的直線傳播定律相反射定律。后由海倫揭示了這兩個(gè)定律的理論實(shí)質(zhì)——光線取最短路徑。經(jīng)過(guò)若干年后，這個(gè)定律逐漸被擴(kuò)展成自然法則，并進(jìn)而成為一種哲學(xué)觀念。—個(gè)更為一般的“大自然以最短捷的可能途徑行動(dòng)”的結(jié)論最終得出來(lái)，并影響了費(fèi)馬。費(fèi)馬的高明之處則在于變這種的哲學(xué)的觀念為科學(xué)理論。費(fèi)馬同時(shí)討論了光在逐點(diǎn)變化的介質(zhì)中行徑時(shí)，其路徑取極小的曲線的情形。并用最小作用原理解釋了一些問(wèn)題。這給許多數(shù)學(xué)家以很大的鼓舞。尤其是歐拉，競(jìng)用變分法技巧把這個(gè)原理用于求函數(shù)的極值。這直接導(dǎo)致了拉格朗日的成就，給出了最小作用原理的具體形式：對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)而言，其質(zhì)量、速度和兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離的乘積之積分是一個(gè)極大值和極小值；即對(duì)該質(zhì)點(diǎn)所取的實(shí)際路徑來(lái)說(shuō)，必須是極大或極小

費(fèi)爾馬大定理費(fèi)爾馬大定理，起源于三百多年前，挑戰(zhàn)人類3個(gè)世紀(jì)，多次震驚全世界，耗盡人類眾多最杰出大腦的精力，也讓千千萬(wàn)萬(wàn)業(yè)余者癡迷。終于在1994年被安德魯·懷爾斯攻克。古希臘的丟番圖寫過(guò)一本著名的“算術(shù)”，經(jīng)歷中世紀(jì)的愚昧黑暗到文藝復(fù)興的時(shí)候，“算術(shù)”的殘本重新被發(fā)現(xiàn)研究。 1637年，法國(guó)業(yè)余大數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬（Pierre de Fremat）在“算術(shù)”的關(guān)于勾股數(shù)問(wèn)題的頁(yè)邊上，寫下猜想：a+b=c是不可能的（這里n大于2；a，b，c，n都是非零整數(shù))。此猜想后來(lái)就稱為費(fèi)爾馬大定理。費(fèi)爾馬還寫道“我對(duì)此有絕妙的證明，但此頁(yè)邊太窄寫不下”。一般公認(rèn)，他當(dāng)時(shí)不可能有正確的證明。猜想提出后，經(jīng)歐拉等數(shù)代天才努力，200年間只解決了n＝3,4,5,7四種情形。1847年，庫(kù)木爾創(chuàng)立“代數(shù)數(shù)論”這一現(xiàn)代重要學(xué)科，對(duì)許多n（例如100以內(nèi)）證明了費(fèi)爾馬大定理，是一次大飛躍。 歷史上費(fèi)爾馬大定理高潮迭起，傳奇不斷。其驚人的魅力，曾在最后時(shí)刻挽救自殺青年于不死。他就是德國(guó)的沃爾夫斯克勒，他后來(lái)為費(fèi)爾馬大定理設(shè)懸賞10萬(wàn)馬克（相當(dāng)于現(xiàn)在160萬(wàn)美元多），期限1908－2007年。無(wú)數(shù)人耗盡心力，空留浩嘆。最現(xiàn)代的電腦加數(shù)學(xué)技巧，驗(yàn)證了400萬(wàn)以內(nèi)的N，但這對(duì)最終證明無(wú)濟(jì)于事。1983年德國(guó)的法爾廷斯證明了：對(duì)任一固定的n，最多只有有限多個(gè)a，b，c振動(dòng)了世界，獲得費(fèi)爾茲獎(jiǎng)（數(shù)學(xué)界最高獎(jiǎng)）。 歷史的新轉(zhuǎn)機(jī)發(fā)生在1986年夏，貝克萊·瑞波特證明了:費(fèi)爾馬大定理包含在“谷山豐—志村五朗猜想 ” 之中。童年就癡迷于此的懷爾斯，聞此立刻潛心于頂樓書(shū)房7年，曲折卓絕，匯集了20世紀(jì)數(shù)論所有的突破性成果。終于在1993年6月23日劍橋大學(xué)牛頓研究所的“世紀(jì)演講”最后，宣布證明了費(fèi)爾馬大定理。立刻震動(dòng)世界，普天同慶。不幸的是，數(shù)月后逐漸發(fā)現(xiàn)此證明有漏洞，一時(shí)更成世界焦點(diǎn)。這個(gè)證明體系是千萬(wàn)個(gè)深?yuàn)W數(shù)學(xué)推理連接成千個(gè)最現(xiàn)代的定理、事實(shí)和計(jì)算所組成的千百回轉(zhuǎn)的邏輯網(wǎng)絡(luò)，任何一環(huán)節(jié)的問(wèn)題都會(huì)導(dǎo)致前功盡棄。懷爾斯絕境搏斗，毫無(wú)出路。1994年9月19日，星期一的早晨，懷爾斯在思維的閃電中突然找到了迷失的鑰匙：解答原來(lái)就在廢墟中！他熱淚奪眶而出。懷爾斯的歷史性長(zhǎng)文“模橢圓曲線和費(fèi)爾馬大定理”1995年5月發(fā)表在美國(guó)《數(shù)學(xué)年刊》第142卷，實(shí)際占滿了全卷，共五章，130頁(yè)。1997年6月27日，懷爾斯獲得沃爾夫斯克勒10萬(wàn)馬克懸賞大獎(jiǎng)。離截止期10年，圓了歷史的夢(mèng)。他還獲得沃爾夫獎(jiǎng)(1996.3），美國(guó)國(guó)家科學(xué)家院獎(jiǎng)（1996.6），費(fèi)爾茲特別獎(jiǎng)（1998.8）。

費(fèi)爾馬大定理，起源于三百多年前，挑戰(zhàn)人類3個(gè)世紀(jì)，多次震驚全世界，耗盡人類眾多最杰出大腦的精力，也讓千千萬(wàn)萬(wàn)業(yè)余者癡迷。終于在1994年被安德魯·懷爾斯攻克。古希臘的丟番圖寫過(guò)一本著名的“算術(shù)”，經(jīng)歷中世紀(jì)的愚昧黑暗到文藝復(fù)興的時(shí)候，“算術(shù)”的殘本重新被發(fā)現(xiàn)研究。 1637年，法國(guó)業(yè)余大數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬（pierre de fremat）在“算術(shù)”的關(guān)于勾股數(shù)問(wèn)題的頁(yè)邊上，寫下猜想：a b=c是不可能的（這里n大于2；a，b，c，n都是非零整數(shù))。此猜想后來(lái)就稱為費(fèi)爾馬大定理。費(fèi)爾馬還寫道“我對(duì)此有絕妙的證明，但此頁(yè)邊太窄寫不下”。一般公認(rèn)，他當(dāng)時(shí)不可能有正確的證明。猜想提出后，經(jīng)歐拉等數(shù)代天才努力，200年間只解決了n＝3,4,5,7四種情形。1847年，庫(kù)木爾創(chuàng)立“代數(shù)數(shù)論”這一現(xiàn)代重要學(xué)科，對(duì)許多n（例如100以內(nèi)）證明了費(fèi)爾馬大定理，是一次大飛躍。 歷史上費(fèi)爾馬大定理高潮迭起，傳奇不斷。其驚人的魅力，曾在最后時(shí)刻挽救自殺青年于不死。他就是德國(guó)的沃爾夫斯克勒，他后來(lái)為費(fèi)爾馬大定理設(shè)懸賞10萬(wàn)馬克（相當(dāng)于現(xiàn)在160萬(wàn)美元多），期限1908－2007年。無(wú)數(shù)人耗盡心力，空留浩嘆。最現(xiàn)代的電腦加數(shù)學(xué)技巧，驗(yàn)證了400萬(wàn)以內(nèi)的n，但這對(duì)最終證明無(wú)濟(jì)于事。1983年德國(guó)的法爾廷斯證明了：對(duì)任一固定的n，最多只有有限多個(gè)a，b，c振動(dòng)了世界，獲得費(fèi)爾茲獎(jiǎng)（數(shù)學(xué)界最高獎(jiǎng)）。

300多年以來(lái)，費(fèi)爾馬大定理使世界上許多著名數(shù)學(xué)家殫精竭慮，有的甚至耗盡了畢生精力。費(fèi)爾馬大定理神秘的面紗終于在1995年揭開(kāi)，被43歲的英國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯一舉證明。這被認(rèn)為是“20世紀(jì)最重大的數(shù)學(xué)成就”。 費(fèi)爾馬大定理的由來(lái) 故事涉及到兩位相隔1400年的數(shù)學(xué)家，一位是古希臘的丟番圖，一位是法國(guó)的費(fèi)爾馬。丟番圖活動(dòng)于公元250年前后。 1637年，30來(lái)歲的費(fèi)爾馬在讀丟番圖的名著《算術(shù)》的法文譯本時(shí)，他在書(shū)中關(guān)于不定方程 x2＋ y2 ＝z2 的全部正整數(shù)解這頁(yè)的空白處用拉丁文寫道：“任何一個(gè)數(shù)的立方，不能分成兩個(gè)數(shù)的立方之和；任何一個(gè)數(shù)的四次方，不能分成兩個(gè)數(shù)的四次方之和，一般來(lái)說(shuō)，不可能將一個(gè)高于二次的冪分成兩個(gè)同次的冪之和。我已發(fā)現(xiàn)了這個(gè)斷語(yǔ)的美妙證法，可惜這里的空白地方太小，寫不下?！?費(fèi)爾馬去世后，人們?cè)谡硭倪z物時(shí)發(fā)現(xiàn)了這段寫在書(shū)眉上的話。1670年，他的兒子發(fā)表了費(fèi)爾馬的這一部分頁(yè)端筆記，大家才知道這一問(wèn)題。后來(lái)，人們就把這一論斷稱為費(fèi)爾馬大定理。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是：形如x^n ＋y^n ＝z^n 的方程，當(dāng)n大于2時(shí)沒(méi)有正整數(shù)解。 費(fèi)爾馬是一位業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。1601年，他出生在法國(guó)南部圖盧茲附近一位皮革商人的家庭。童年時(shí)期是在家里受的教育。長(zhǎng)大以后，父親送他在大學(xué)學(xué)法律，畢業(yè)后當(dāng)了一名律師。從1648年起，擔(dān)任圖盧茲市議會(huì)議員。 他酷愛(ài)數(shù)學(xué)，把自己所有的業(yè)余時(shí)間都用于研究數(shù)學(xué)和物理。由于他思維敏捷，記憶力強(qiáng)，又具備研究數(shù)學(xué)所必須的頑強(qiáng)精神，所以，獲得了豐碩的成果，使他躋身于17世紀(jì)大數(shù)學(xué)家之列。 艱難的探索 起初，數(shù)學(xué)家想重新找到費(fèi)爾馬沒(méi)有寫出來(lái)的那個(gè)“美妙證法”，但是誰(shuí)也沒(méi)有成功。著名數(shù)學(xué)家歐拉用無(wú)限下推法證明了方程 x3＋ y3 ＝z3 和 x4 ＋ y4 ＝z4 不可能有正整數(shù)解。 因?yàn)槿魏我粋€(gè)大于2的整數(shù)，如果不是4的倍數(shù)，就一定是某一奇素?cái)?shù)或它的倍數(shù)。因此，只要能證明n＝4以及n是任一奇素?cái)?shù)時(shí)，方程都沒(méi)有正整數(shù)解，費(fèi)爾馬大定理就完全證明了。n＝4的情形已經(jīng)證明過(guò)，所以，問(wèn)題就集中在證明n等于奇素?cái)?shù)的情形了。 在歐拉證明了 n＝ 3， n＝ 4以后， 1823年和 1826年勒讓德和狄利克雷各自獨(dú)立證明了 n＝ 5的情形， 1839年拉梅證明了 n＝ 7的情形。就這樣，一個(gè)一個(gè)奇素?cái)?shù)證下去的長(zhǎng)征便開(kāi)始了。 其中，德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺栕鞒隽酥匾暙I(xiàn)。他用近世代數(shù)的方法，引入了自己發(fā)明的“理想數(shù)”和“分圓數(shù)”的概念，指出費(fèi)爾馬大定理只可能在n等于某些叫非正則素?cái)?shù)的值時(shí)，才有可能不正確，所以只需對(duì)這些數(shù)進(jìn)行研究。這樣的數(shù)，在100以內(nèi)，只有37、59、67三個(gè)。他還具體證明了當(dāng) n＝ 37、59、67時(shí)，方程xn＋ yn＝zn是不可能有正整數(shù)解的。這就把費(fèi)爾馬大定理一下推進(jìn)到n在100以內(nèi)都是成立的。庫(kù)默爾“成批地”證明了定理的成立，人們視之為一次重大突破。1857年，他獲得巴黎科學(xué)院的金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)隆?這一“長(zhǎng)征”式的證法，雖然不斷地刷新著記錄，如 1992年更進(jìn)到n＝1000000，但這不等于定理被證明?？磥?lái)，需要另辟蹊徑。 10萬(wàn)馬克獎(jiǎng)給誰(shuí) 從費(fèi)爾馬時(shí)代起，巴黎科學(xué)院曾先后兩次提供獎(jiǎng)?wù)潞酮?jiǎng)金，獎(jiǎng)勵(lì)證明費(fèi)爾馬大定理的人，布魯塞爾科學(xué)院也懸賞重金，但都無(wú)結(jié)果。1908年，德國(guó)數(shù)學(xué)家佛爾夫斯克爾逝世的時(shí)候，將他的10萬(wàn)馬克贈(zèng)給了德國(guó)哥庭根科學(xué)會(huì)，作為費(fèi)爾馬大定理的解答獎(jiǎng)金。 哥庭根科學(xué)會(huì)宣布，獎(jiǎng)金在100年內(nèi)有效。哥庭根科學(xué)會(huì)不負(fù)責(zé)審查稿件。 10萬(wàn)馬克在當(dāng)時(shí)是一筆很大的財(cái)富，而費(fèi)爾馬大定理又是小學(xué)生都能聽(tīng)懂題意的問(wèn)題。于是，不僅專搞數(shù)學(xué)這一行的人，就連很多工程師、牧師、教師、學(xué)生、銀行職員、政府官吏和一般市民，都在鉆研這個(gè)問(wèn)題。在很短時(shí)間內(nèi)，各種刊物公布的證明就有上千個(gè)之多。 當(dāng)時(shí)，德國(guó)有個(gè)名叫《數(shù)學(xué)和物理文獻(xiàn)實(shí)錄》的雜志，自愿對(duì)這方面的論文進(jìn)行鑒定，到 1911年初為止，共審查了111個(gè)“證明”，全都是錯(cuò)的。后來(lái)實(shí)在受不了沉重的審稿負(fù)擔(dān)，于是它宣布停止這一審查鑒定工作。但是，證明的浪潮仍洶涌澎湃，雖然兩次世界大戰(zhàn)后德國(guó)的貨幣多次大幅度貶值，當(dāng)初的10萬(wàn)馬克折算成后來(lái)的馬克已無(wú)多大價(jià)值。但是，熱愛(ài)科學(xué)的可貴精神，還在鼓勵(lì)著很多人繼續(xù)從事這一工作。 姍姍來(lái)遲的證明 經(jīng)過(guò)前人的努力，證明費(fèi)爾馬大定理取得了許多成果，但離定理的證明，無(wú)疑還有遙遠(yuǎn)的距離。怎么辦？來(lái)必須要用一種新的方法，有的數(shù)學(xué)家用起了傳統(tǒng)的辦法——轉(zhuǎn)化問(wèn)題。 人們把丟番圖方程的解與代數(shù)曲線上的某種點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，成為一種代數(shù)幾何學(xué)的轉(zhuǎn)化，而費(fèi)爾馬問(wèn)題不過(guò)是丟番圖方程的一個(gè)特例。在黎曼的工作基礎(chǔ)上，1922年，英國(guó)數(shù)學(xué)家莫德?tīng)柼岢鲆粋€(gè)重要的猜想。：“設(shè)F（x，y）是兩個(gè)變數(shù)x、y的有理系數(shù)多項(xiàng)式，那么當(dāng)曲線F（x，y）= 0的虧格（一種與曲線有關(guān)的量）大于1時(shí)，方程F（x，y）＝0至多只有有限組有理數(shù)”。1983年，德國(guó)29歲的數(shù)學(xué)家法爾廷斯運(yùn)用蘇聯(lián)沙法拉維奇在代數(shù)幾何上的一系列結(jié)果證明了莫德?tīng)柌孪?。這是費(fèi)爾馬大定理證明中的又一次重大突破。法爾廷斯獲得了1986年的菲爾茲獎(jiǎng)。 維爾斯仍采用代數(shù)幾何的方法去攀登，他把別人的成果奇妙地聯(lián)系起來(lái)，并且吸取了走過(guò)這條道路的攻克者的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，注意到一條嶄新迂回的路徑：如果谷山——志村猜想成立，那么費(fèi)爾馬大定理一定成立。這是1988年德國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)雷在研究日本數(shù)學(xué)家谷山——志村于1955年關(guān)于橢圓函數(shù)的一個(gè)猜想時(shí)發(fā)現(xiàn)的。 維爾斯出生于英國(guó)牛津一個(gè)神學(xué)家庭，從小對(duì)費(fèi)爾馬大定理十分好奇、感興趣，這條美妙的定理導(dǎo)致他進(jìn)入了數(shù)學(xué)的殿堂。大學(xué)畢業(yè)以后，他開(kāi)始了幼年的幻想，決心去圓童年的夢(mèng)。他極其秘密地進(jìn)行費(fèi)爾馬大定理的研究，守口如瓶，不透半點(diǎn)風(fēng)聲。 窮七年的鍥而不舍，直到1993年6月23日。這天，英國(guó)劍橋大學(xué)牛頓數(shù)學(xué)研究所的大廳里正在進(jìn)行例行的學(xué)術(shù)報(bào)告會(huì)。報(bào)告人維爾斯將他的研究成果作了長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)半小時(shí)的發(fā)言。10點(diǎn)30分，在他結(jié)束報(bào)告時(shí)，他平靜地宣布：“因此，我證明了費(fèi)爾馬大定理”。這句話像一聲驚雷，把許多只要作例行鼓掌的手定在了空中，大廳時(shí)鴉雀無(wú)聲。半分鐘后，雷鳴般的掌聲似乎要掀翻大廳的屋頂。英國(guó)學(xué)者顧不得他們優(yōu)雅的紳士風(fēng)度，忘情地歡騰著。 消息很快轟動(dòng)了全世界。各種大眾傳媒紛紛報(bào)道，并稱之為“世紀(jì)性的成就”。人們認(rèn)為，維爾斯最終證明了費(fèi)爾馬大定理，被列入1993年世界科技十大成就之一。 可不久，傳媒又迅速地報(bào)出了一個(gè)“爆炸性”新聞：維爾斯的長(zhǎng)達(dá)200頁(yè)的論文送交審查時(shí)，卻被發(fā)現(xiàn)證明有漏洞。 維爾斯在挫折面前沒(méi)有止步，他用一年多時(shí)間修改論文，補(bǔ)正漏洞。這時(shí)他已是“為伊消得人憔悴”，但他“衣帶漸寬終不悔”。1994年9月，他重新寫出一篇108頁(yè)的論文，寄往美國(guó)。論文順利通過(guò)審查，美國(guó)的《數(shù)學(xué)年刊》雜志于1995年5月發(fā)表了他的這一篇論文。維爾斯因此獲得了1995～1996年度的沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。 經(jīng)過(guò) 300多年的不斷奮戰(zhàn)，數(shù)學(xué)家們世代的努力，圍繞費(fèi)爾馬大定理作出了許多重大的發(fā)現(xiàn)，并促進(jìn)了一些數(shù)學(xué)分支的發(fā)展，尤其是代數(shù)數(shù)論的進(jìn)展?，F(xiàn)代代數(shù)數(shù)論中的核心概念“理想數(shù)”，正是為了解決費(fèi)爾馬大定理而提出的。難怪大數(shù)學(xué)家希爾伯特稱贊費(fèi)爾馬大定理是“一只會(huì)下金蛋的母雞”。