熱爾曼，熱爾曼定理的詳細(xì)解答

熱爾曼的理論 　　熱爾曼是法國女?dāng)?shù)學(xué)家，柯西和勒讓德的同時(shí)代人，她與他們有通訊聯(lián)系，她的定理由于大人物的敬佩而受到歡迎．我們打算說明她的結(jié)果是如何漂亮和靈巧．它的核心是以下定理： 　　定理 令p，q是不同的奇素?cái)?shù)，滿足以下條件： 　　1．對于任意整數(shù)k，kpp(mod q)； 　　2．若x，y，z是整數(shù)，并且 　　xp+yp+zp≡p(mod q) 　　則q整除x，y或者z． 　　那么對于指數(shù)p，F(xiàn)LT第一種情形是真的． 　　定理的證明使用了巴羅——阿貝爾關(guān)系式． 　　熱爾曼的著名定理如下(1823)： 　　定理2如果p是一個(gè)奇素?cái)?shù)，使2p+1也是素?cái)?shù)，那么對于p，F(xiàn)LT的第一種情形成立． 　　定理的證明是非常精彩的，它僅涉及初等數(shù)論中的勒讓德符號的計(jì)算和費(fèi)馬小定理，我們把它寫出來，供讀者欣賞． 　　證明 檢驗(yàn)素?cái)?shù)p和q=2p+1滿足定理1的條件是十分容易的． 　　如果p≡ap(mod q)，計(jì)算勒讓德符號，得 　　 于是p≡±1(mod q)，這是不可能的． 　　其次，假設(shè)xp+yp+zp≡0(mod q)，和qxyz．因?yàn)閜=(q-1)／2，應(yīng)用費(fèi)馬小定理，則 　　xp≡±1(mod q) 　　yp≡±1(mod q) 　　zp≡±1(mod q) 　　于是0=xp+yp+zp≡±1±1±1(mod q)，這也是不可能的． 　　這就是證明！□ 　　注 素?cái)?shù)模p的二次同余式可以寫成 x2≡α(mod p) 當(dāng)它有解時(shí)，我們就說α是p的平方剩余；否則，當(dāng)它沒有解時(shí)，我們就說α是p的平方非剩余． 　　　 我們有 　　這樣一個(gè)好的結(jié)果立即產(chǎn)生幾個(gè)推廣．實(shí)際上，使用同樣的思想，不過用稍微詳細(xì)的分析方法，勒讓德證明如下結(jié)果： 　　定理3對于奇素?cái)?shù)指數(shù)p，F(xiàn)LT第一種情形成立，只要下列數(shù)中之一也是素?cái)?shù)：4p+1，8p+1，10p+1，14p+1，16p+1． 　　由于這個(gè)定理，熱爾曼和勒讓德的結(jié)果包含了所有素?cái)?shù)p＜100，從而證實(shí)了對于這些素?cái)?shù)的第一種情形．雖然它僅是第一種情形，但它仍表明較以前的種種嘗試有相當(dāng)大的前進(jìn)，況且更由于早在1823年它就被證明． 　　這個(gè)方法畢竟有它的局限性，它的困難在于給出素?cái)?shù)p，使2kp+1也是素?cái)?shù)，當(dāng)k是大數(shù)時(shí)．其次，方法對于第二種情形不起作用． 　　更現(xiàn)代的結(jié)果由克拉斯涅(1940)和笛內(nèi)斯(1951)給出．克拉斯涅的方法同笛內(nèi)斯的一樣，都不完全是樸素的．實(shí)際上，他們使用了近代代數(shù)的成果．這里是克拉斯涅的定理． 　　定理4假設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù)，h是整數(shù)，使 　　1．q=2hp+1是素?cái)?shù)； 　　2．3h； 　　3．3h/2＜2hp+1； 　　4．22h1(mod q)． 　　那么對于p，F(xiàn)LT第一種情形成立． 　　1951年笛內(nèi)斯證明： 　　定理5 如果p是一個(gè)奇素?cái)?shù)，h是整數(shù)，不是3的倍數(shù)，h≤55，且使q=2hp+1是素?cái)?shù)，那么對于p，F(xiàn)LT第一種情形成立．

10個(gè)最偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家 1.希帕蒂婭（Hypatia，約公元370－415），她出生在埃及亞歷山大，是有史記載的第一位女?dāng)?shù)學(xué)家。希帕蒂婭的父親是當(dāng)時(shí)有名的數(shù)學(xué)家，一些有名的學(xué)者常到她家做客，在他們的影響下，希帕蒂婭對數(shù)學(xué)充滿了興趣和熱情，10歲時(shí)她應(yīng)用相似三角形對應(yīng)成比例的原理，首創(chuàng)了用一根桿子及其在太陽下的影子來測定金字塔塔高的方法。19歲就讀完了歐幾里得的《幾何原本》和阿基米德的《論球和圓柱》，同年，她乘商船去雅典求學(xué)，在求學(xué)期間她成為受人景仰的數(shù)學(xué)家。 學(xué)成歸國后，她教授數(shù)學(xué)和哲學(xué)。并對阿波羅尼斯的《圓錐曲線論》作了詳細(xì)的注釋，這些研究直到 17世紀(jì)才重新引起數(shù)學(xué)家們的重視。除此之外 ,希帕蒂婭還曾設(shè)計(jì)過觀天儀、流體比重計(jì)和壓力測試器等儀器。公元415年，遭到宗教的殘酷殺害。雖然這樣一位為數(shù)學(xué)的傳播和發(fā)展作出了卓越貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家一生短暫，但是她的成就，她高尚的思想之光為后來者照亮了前行之路。 2.愛米麗?布瑞杜爾（Emiliede Breteuil ，1706－1749），法國數(shù)學(xué)家。她出生在上流社會，父親是國王路易十四的秘書。12歲的時(shí)候，愛米麗就已經(jīng)精通拉丁文、意大利語、希臘語和德語，此后她接受了科學(xué)和文學(xué)全方位的教育。1733年，愛米麗認(rèn)識了伏爾泰，在戀愛過程中，伏爾泰將笛卡兒、萊布尼茨和牛頓的科學(xué)思想傳達(dá)給愛米麗。他們合作翻譯了牛頓的《哲學(xué)基礎(chǔ)》，首次將牛頓的理論介紹給還沒有高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的讀者。這期間，愛米麗還把一個(gè)房間改裝成實(shí)驗(yàn)室，進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)，不久后她參加了科學(xué)院舉行的“火的自然屬性”科學(xué)論文大賽，她在征文中首次提出了紅外線輻射理論。當(dāng)愛米麗的科學(xué)成就開始超越伏爾泰時(shí)，他們的關(guān)系卻走向了下坡路，不久后她出版了《物理學(xué)研究》，她把笛卡兒、萊布尼茨和牛頓的三人的科學(xué)理論結(jié)合起來做了歸納。離開伏爾泰之后，愛米麗又將牛頓的《數(shù)學(xué)原理》（Principia Mathematical）從拉丁文翻譯成法文，翻譯版本也是當(dāng)時(shí)最權(quán)威的一本。 與她巨大的科學(xué)成就對應(yīng)的，是社會的歧視。法國上流社會中的女性十分嫉妒愛米麗贏得了伏爾泰的愛情，她們常常把她描繪成一個(gè)丑陋、粗魯?shù)呐恕Ｔ谒械淖詈笠荒?，也就是翻譯《數(shù)學(xué)原理》的同年，她死于難產(chǎn)。在她飽受奚落與誤解的一生中，愛米麗依賴她的獨(dú)立，敢于追求真理和幸福的巨大勇氣贏得了科學(xué)界的理解和尊重。 3.阿涅西(Maria Gaetana Agnesi，1718—1799) ：意大利數(shù)學(xué)家。她從小便被認(rèn)為是個(gè)天才，在她家里的聚會中，她總是談及有關(guān)邏輯、機(jī)械、化學(xué)、植物學(xué)、動物學(xué)、礦物學(xué)以及解析幾何等這些廣泛的話題。11歲時(shí)，她已精通各國語言。阿涅澤生性謙虛內(nèi)向，勤奮好學(xué)又具有奉獻(xiàn)精神。1738年加入修道會，后來的十四年里，阿涅澤一直專注在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域里，并寫了些令人贊賞的作品，為整個(gè)哲學(xué)和科學(xué)世界開啟了一扇清新的窗。她最著名的數(shù)學(xué)作品《分析講義》，被認(rèn)為是第一部完整的微積分教科書。教皇貝內(nèi)迪克特十四世還頒給她一面金牌，以表彰她在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)。 1750年，阿涅澤被任命為波洛尼亞大學(xué)的數(shù)學(xué)與自然哲學(xué)系的系主任，然而她僅接受他們所授與的榮譽(yù)頭銜。1751年，阿涅澤正值數(shù)學(xué)事業(yè)的顛峰時(shí)期，她卻突然停止了所有數(shù)學(xué)與科學(xué)的研究。她一直照顧她父親直到父親去逝，接著便擔(dān)負(fù)起照顧和教育她的二十位弟妹之責(zé)任。之后，她過著與世隔絕的生活，把她的余年都奉獻(xiàn)給了窮苦貧困的人民。 4.瑪麗蘇菲?熱爾曼（Marie-Sophie Germain，1776—1831），法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。出身巴黎一個(gè)殷實(shí)的商人家庭，熱爾曼從小熱愛數(shù)學(xué)，但不為家庭所鼓勵(lì)。身為女性，她被拒于巴黎綜合工科學(xué)校大門之外，顧慮到當(dāng)時(shí)普遍存在的對女性科學(xué)家的成見，她常常不得不以假名和其他數(shù)學(xué)家（比如拉格朗日和高斯等）通信。熱爾曼的求學(xué)故事折射出了當(dāng)時(shí)女性求學(xué)的困難和自卑。通過不懈的努力，她在聲學(xué)、彈性的數(shù)學(xué)理論和數(shù)論等方面都取得了出色的成果， 在1816年1月，熱爾曼因提出的“彈性表面理論”的優(yōu)秀論文第一次挑戰(zhàn)了拉普拉斯學(xué)派而聲名大噪。高斯堅(jiān)持將她推薦給哥廷根的教授團(tuán),請求頒授一個(gè)榮譽(yù)博士學(xué)位給她，可惜遲了一步，蘇菲於1831 因乳腺癌去逝。 5.奧古斯特?愛達(dá)?洛芙萊斯(Augusta Ada Lovlace，1815—1852)，英國數(shù)學(xué)家，是著名詩人拜倫的女兒。雖然愛達(dá)?洛芙萊斯的名字在數(shù)學(xué)史的書上不常見到，但她還是作為世界上最早的計(jì)算機(jī)程序員而載入史冊。人們用她的名字艾達(dá)(ADA)作為一種計(jì)算機(jī)語言的名稱就是為紀(jì)念這位聰明的數(shù)學(xué)家。 愛達(dá)很小的時(shí)候的愛達(dá)對數(shù)學(xué)就有強(qiáng)烈的興趣和熱情，拜倫喜歡稱呼她為“平行四邊形公主”。10歲那年愛達(dá)?洛芙萊斯第一次遇到C?巴貝格，那時(shí)她跟著一群成年人去參觀他的實(shí)驗(yàn)室，那些令人驚奇的機(jī)器已成為倫敦社會的一種吸引力。愛達(dá)使巴貝格留下了深刻的印象，因?yàn)樗菂⒂^者中少數(shù)幾個(gè)能對他的機(jī)器和他的工作提出有理智和思想深度的問題的人之一。在21歲時(shí)她寫信給巴貝格，鼓勵(lì)他在分析機(jī)方面的工作并請求他作為自己的導(dǎo)師。一年后她承擔(dān)了一篇論文《論巴貝格分析機(jī)》的翻譯任務(wù)。她的工作不單是翻譯，還包括長達(dá)論文三倍的注解。她對機(jī)器作了詳盡的數(shù)學(xué)解析，描述了它的部件、開列了其可能的用途。她描述的是一臺尚未存在的計(jì)算機(jī)，在注解中她甚至為這臺虛有的機(jī)器寫下了計(jì)算貝努利數(shù)的計(jì)算機(jī)程序，更為重要的是，她為了巴貝格的事業(yè)傾注了自己的全部熱情。不幸的于1852年罹患了癌癥，英年早逝，時(shí)僅36歲。 6.柯瓦列夫斯卡婭?索非亞（Vasilyevna Kovalevskaya ,1850—1891），俄國歷史上第一位女?dāng)?shù)學(xué)家。卡婭生于莫斯科一個(gè)貴族家庭，天性安靜溫和。17歲時(shí)就在彼得堡一位海軍學(xué)校教師的指導(dǎo)下掌握了微積分。1870年到柏林求學(xué)，但當(dāng)時(shí)柏林大學(xué)拒收女生，她只好慕名求見名重一時(shí)的數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯，后者決定單獨(dú)為她授課達(dá)四年之久。哥廷根大學(xué)鑒于其出色的工作，未經(jīng)答辨，便破格授予她博士學(xué)位，使她成為歷史上第一位女?dāng)?shù)學(xué)博士。 卡婭在38歲時(shí)由于對剛體繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問題的研究而先后獲得法蘭西科學(xué)院和瑞典科學(xué)院的褒獎(jiǎng)。剛體旋轉(zhuǎn)問題自歐拉、拉格朗日以來長期停滯不前，法蘭西科學(xué)院已三次懸賞解決?？峦吡蟹蛩箍▼I的獲獎(jiǎng)成為當(dāng)時(shí)的報(bào)紙新聞，轟動了巴黎。1889年圣彼得堡科學(xué)院選舉柯瓦列夫斯卡婭為院士，為此還專門修改了院章中不接納女性院士的規(guī)定。卡婭的一個(gè)重要貢獻(xiàn)就是對偏微分方程解的存在性和唯一性給出了更一般的結(jié)果，現(xiàn)稱為柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理。不幸的是，一年多以后，她就因患肺炎而在瑞典逝世，年僅41歲。 7.埃米?諾特（Emmy Noether，1882－1935），德國數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為抽象代數(shù)之母。諾特出生在德國一個(gè)猶太人家庭，她通往成功的道路，比別人更加艱難曲折。年少的諾特多才多藝，能歌善舞。 25歲時(shí)，她在哥爾丹教授的指導(dǎo)下順利獲得博士學(xué)位，不久后憑借數(shù)學(xué)才能贏得了聲譽(yù)。1919年6月，她取得哥廷根大學(xué)授課資格。在大數(shù)學(xué)家希爾伯特、韋達(dá)等人的力薦，她終于在清一色的男人世界——哥廷根大學(xué)中取得了教授稱號，從此諾特走上了完全獨(dú)立的數(shù)學(xué)之路。 1921年她的經(jīng)典論文《環(huán)中理想論》發(fā)表，標(biāo)志著抽象代數(shù)現(xiàn)代化的開端；物理上，她導(dǎo)出了非常關(guān)鍵而且美麗的結(jié)果，稱為諾特定理。希特勒上臺后對猶太人的迫害變本加厲。1929 年，諾特竟然被攆出居住的公寓。1933 年4月，法西斯當(dāng)局竟然剝奪了諾特教書的權(quán)利，將一批猶太教授逐出了校園。后來諾特乘船去了美國，1935 年4月14日不幸死于一次外科手術(shù)，年僅53歲。愛因斯坦稱贊諾特是“自婦女開始受到高等教育以來最杰出的最富有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)天才”，諾特的名字，已成為億萬婦女獻(xiàn)身科學(xué)的象征。 8.瑪麗?卡特賴特（Mary Cartwright ，1900—1998），她是一個(gè)多才多藝的英國數(shù)學(xué)家被譽(yù)為“混沌理論”的創(chuàng)始人。她的父親是牧師，在她11歲時(shí)才被送往學(xué)校學(xué)習(xí)?，旣?卡特賴特在中學(xué)非常勤奮刻苦，中學(xué)畢業(yè)之前就已經(jīng)下定決心終身從事數(shù)學(xué)研究。1919年10月瑪麗順利進(jìn)入牛津?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)，那時(shí)整個(gè)學(xué)校學(xué)數(shù)學(xué)的只有五個(gè)女生。在大二時(shí)她參加了一個(gè)數(shù)學(xué)會，每天晚上都要和數(shù)學(xué)家探討數(shù)學(xué)難題。大學(xué)畢業(yè)后任教四年，1930年，她在數(shù)論專家哈代指導(dǎo)下拿到了牛津大學(xué)博士學(xué)位。1935年，她被邀請到劍橋大學(xué)講授數(shù)學(xué)課程，直到退休?，旣?卡特賴特是第一位當(dāng)選英國皇家學(xué)會會員的女?dāng)?shù)學(xué)家，后來還擔(dān)任倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會會長一職。瑪麗?卡特賴特在教學(xué)和研究期間還出版了許多有關(guān)數(shù)學(xué)分析和復(fù)變函數(shù)方面的書籍。 9.朱莉婭?羅賓遜（Julia Robinson，1918—1985），她出生在美國圣路易斯市，是美國數(shù)學(xué)會的首位女會長。1936年她進(jìn)入圣地亞哥大學(xué)學(xué)習(xí)，1939年進(jìn)入加州大學(xué)伯克利分校深造，獲得博士學(xué)位，在1975年她成為該校教授。朱莉婭的丈夫早年曾是她的數(shù)論教授，幫助她打下了非常扎實(shí)的數(shù)論基礎(chǔ)。朱莉婭從1948年起開始涉足研究希爾伯特第十問題，1961年朱莉婭和戴維斯（Davis）以及普特南（Putnan）三人合作發(fā)表論文，使這一難題取得關(guān)鍵性突破。1982年，她被選中成為諾特講席(Noether Lecturer)。與其他女?dāng)?shù)學(xué)家一樣，她一生在追求學(xué)術(shù)的過程中遇到過許多坎坷。朱莉婭幼年時(shí)屢患疾病，導(dǎo)致身體虛弱，無法生育，這一點(diǎn)曾使酷愛家庭的她陷入極度的痛苦之中，最終是數(shù)學(xué)的力量讓她漸漸擺脫了痛苦的陰影。 10.沙菲?戈德瓦塞爾（Shafi Goldwasser，1958— ），以色列密碼學(xué)專家。沙菲?戈德瓦塞爾在紐約出生，1979年獲得卡內(nèi)基梅隆大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)士學(xué)位，在1983年在加州大學(xué)伯克利分校獲得計(jì)算機(jī)科學(xué)博士學(xué)位，現(xiàn)任教麻省理工大學(xué)。戈德瓦塞爾曾兩次贏得了哥德爾獎(jiǎng)。在2001年，她當(dāng)選為美國藝術(shù)與科學(xué)學(xué)院院士。2002年沙菲?戈德瓦塞爾曾出席在北京舉行的國際數(shù)學(xué)家大會，并在大會上專門做了一個(gè)1小時(shí)數(shù)學(xué)報(bào)告。戈德瓦塞爾的研究領(lǐng)域包括復(fù)雜性理論，密碼和計(jì)算數(shù)論。2007年被選為國際密碼學(xué)研究協(xié)會研究員。

我呀

我只知道男的叫高源

“代數(shù)學(xué)之母”愛米－諾德

陳蘭