1. laurent級(jí)數(shù)
分別求洛朗級(jí)數(shù)的正冪次項(xiàng)部分的收斂域與負(fù)冪次項(xiàng)部分的收斂域，兩個(gè)收斂域的公共部分即為所求的收斂域。
2. laurent級(jí)數(shù)的收斂域
留數(shù)又稱(chēng)殘數(shù)，復(fù)變函數(shù)論中一個(gè)重要的概念。是解析函數(shù)f（z）沿一條正向簡(jiǎn)單閉曲線的積分值。
定義是：f（z）在 0
，則稱(chēng)積分值（1/2πi）∫|z－a|=Rf（z）dz為f（z）關(guān)于a點(diǎn)的留數(shù) ，記作Res[f（z），a] 。如果f（z）是平面流速場(chǎng)的復(fù)速度，而a是它的旋源點(diǎn)（即旋渦中心或源匯中心），則積分∫|z－a|=Rf（z）dz表示旋源的強(qiáng)度——環(huán)流量，所以留數(shù)是環(huán)流量除以2πi的值。由于解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)附近可以展成羅朗級(jí)數(shù)：f（z）=∑ak（z－a）k ，將它沿|z－a|=R逐項(xiàng)積分，立即可見(jiàn)Res[f(z)，a]=a-1 ，這表明留數(shù)是解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的羅朗展式中負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)。
在復(fù)分析中，留數(shù)定理是用來(lái)計(jì)算解析函數(shù)沿著閉曲線的路徑積分的一個(gè)有力的工具，也可以用來(lái)計(jì)算實(shí)函數(shù)的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣。
留數(shù)定理：設(shè)D是復(fù)平面上單連通開(kāi)區(qū)域，C是其邊界,函數(shù)f(z)在D內(nèi)除了有限個(gè)奇點(diǎn)a1,a2,...,an外解析,在閉區(qū)域D+C上除了a1,a2,...,an外連續(xù),則在C上圍道積分∮f(z)dz=2πi∑Res(f(z),ak)
3. laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)計(jì)算
如果一個(gè)函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)的某個(gè)去心環(huán)形領(lǐng)域（即R1<|z-z0|<R2）內(nèi)處處解析，那么在這個(gè)去心環(huán)形領(lǐng)域內(nèi)，f(z)就可以唯一表示成f(z)=∑Cn(z-z0)^n(n從取到-∞到+∞)，這個(gè)級(jí)數(shù)就叫做f(z)在R1<|z-z0|<R2的Laurent級(jí)數(shù)。（需要注意的是：f(z)在z0的領(lǐng)域|z-z0|<R1上的解析性未知。）
Taylor級(jí)數(shù)的定義：
若f(z)在領(lǐng)域|z-z0|<R1內(nèi)處處解析，則在|z-z0|<R1上，f(z)可以唯一表示為f(z)=∑an(z-z0)^n(n從取到0到+∞)，這個(gè)級(jí)數(shù)就叫做f(z)在|z-z0|<R1的Taylor級(jí)數(shù)。
從兩者定義的來(lái)判斷：
f(z)寫(xiě)成Laurent級(jí)數(shù)的區(qū)域?yàn)榄h(huán)形區(qū)域，而展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)的區(qū)域?yàn)閳A形區(qū)域內(nèi)部。所以可以根據(jù)題目要求的f(z)的展開(kāi)區(qū)域來(lái)判斷f(z)展開(kāi)為什么級(jí)數(shù)。
同樣值得注意的是：
若f(z)在環(huán)形區(qū)域上展開(kāi)為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù)，在圓形區(qū)域內(nèi)部展開(kāi)為T(mén)aylor級(jí)數(shù)，若這兩個(gè)區(qū)域有公共部分，那么根據(jù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的唯一性可知，此時(shí)的Laurent級(jí)數(shù)的表達(dá)式就等同于Taylor級(jí)數(shù)的表達(dá)式。
如果f(z)是實(shí)函數(shù)，則當(dāng)f(z)為常數(shù)函數(shù)時(shí)，也是可以展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)的。
分析如下：
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
若f(z)是實(shí)函數(shù)
則，v(x,y)≡0
dv/dx=0,dv/dy=0
在某個(gè)環(huán)形區(qū)域內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)u(x,y)=C(C為實(shí)常數(shù))時(shí)，柯西黎曼方程處處成立，即f(z)在該環(huán)形區(qū)域內(nèi)處處解析
所以，f(z)=C在環(huán)形區(qū)域內(nèi)可以展開(kāi)為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù)。洛朗級(jí)數(shù) 復(fù)變函數(shù)f(z)的洛朗級(jí)數(shù),是冪級(jí)數(shù)的一種,它不僅包含了正數(shù)次數(shù)的項(xiàng),也包含了負(fù)數(shù)次數(shù)的項(xiàng).有時(shí)無(wú)法把函數(shù)表示為泰勒級(jí)數(shù),但可以表示為洛朗級(jí)數(shù).函數(shù)f(z)關(guān)于點(diǎn)c的洛朗級(jí)數(shù)由下式給出：f(...
4. 1/z展開(kāi)為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù)
在數(shù)學(xué)中，復(fù)變函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)，是冪級(jí)數(shù)的一種，它不僅包含了正數(shù)次數(shù)的項(xiàng)，也包含了負(fù)數(shù)次數(shù)的項(xiàng)。有時(shí)無(wú)法把函數(shù)表示為泰勒級(jí)數(shù)，但可以表示為洛朗級(jí)數(shù)。洛朗級(jí)數(shù)是由Pierre Alphonse Laurent在1843年首次發(fā)表并以他命名的?？枴の籂査固乩箍赡苁歉绨l(fā)現(xiàn)這個(gè)級(jí)數(shù)的人，但他1841年的論文在他死后才發(fā)表于世。
5. laurent級(jí)數(shù)例題
cotx由于在x=0處無(wú)定義，所以沒(méi)有 Maclaurin級(jí)數(shù)形式。
在其他點(diǎn)可以按照泰勒級(jí)數(shù)的形式展開(kāi)，不過(guò)通常會(huì)轉(zhuǎn)換成tan形式cot(x)=tan(Pi/2-x)。tan(x)=Σ[(-1)^(n-1)*2^(2n)(2^(2n)-1)B(2n)]/(2n)! x^(2n-1) for n=1 to Infinity。
復(fù)變函數(shù)中，cotz可以展開(kāi)成Laurent級(jí)數(shù)形式，cot(z)=Σ[(-1)^(n)*2^(2n)B(2n)]/(2n)! z^(2n-1) for n=0 to Infinity。
泰勒公式形式
泰勒公式是將一個(gè)在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f（x）利用關(guān)于（x-x0）的n次多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)的方法。
若函數(shù)f（x）在包含x0的某個(gè)閉區(qū)間[a,b]上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開(kāi)區(qū)間（a,b）上具有（n+1）階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)x，成立下式：
其中，表示f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱(chēng)為函數(shù)f（x）在x0處的泰勒展開(kāi)式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余項(xiàng)，是（x-x0）n的高階無(wú)窮小。
擴(kuò)展資料：
公式應(yīng)用
實(shí)際應(yīng)用中，泰勒公式需要截?cái)?，只取有限?xiàng)，一個(gè)函數(shù)的有限項(xiàng)的泰勒級(jí)數(shù)叫做泰勒展開(kāi)式。泰勒公式的余項(xiàng)可以用于估算這種近似的誤差。
泰勒展開(kāi)式的重要性體現(xiàn)在以下五個(gè)方面：
1、冪級(jí)數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項(xiàng)進(jìn)行，因此求和函數(shù)相對(duì)比較容易。
2、一個(gè)解析函數(shù)可被延伸為一個(gè)定義在復(fù)平面上的一個(gè)開(kāi)片上的解析函數(shù)，并使得復(fù)分析這種手法可行。
3、泰勒級(jí)數(shù)可以用來(lái)近似計(jì)算函數(shù)的值，并估計(jì)誤差。
4、證明不等式。
5、求待定式的極限
6. laurent級(jí)數(shù)唯一性
姓名：L．V．阿爾福斯Ａhlfors（Lars Valerian）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1907年4月18日（29歲）。籍貫：芬蘭（美藉）。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1936年，奧斯陸。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：赫爾辛基大學(xué)，哈佛大學(xué)。主要成就：證明了鄧若瓦猜想；發(fā)展覆蓋面理論。對(duì)黎曼面作了深入研究。
姓名：J．道格拉斯（Douglas,Jesse）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1897年7月3日（39歲）籍貫：美國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1936年、奧斯陸。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：麻省理工學(xué)院主要成就：解決普拉托極小曲面問(wèn)題，即一種非線性橢圓型偏微分方程的第一邊值問(wèn)題；變分問(wèn)題的逆問(wèn)題。
姓名：L．施瓦爾茲（Schwartz,Laurent）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1915年6月15日（35歲）。籍貫：法國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1950年、坎布里奇。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：南錫大學(xué)，巴黎學(xué)院。主要成就：創(chuàng)立了廣義函數(shù)論；對(duì)泛函分析、概率論、偏微分方面均有建樹(shù)。
姓名：A．賽爾伯格（Selberg,Atle）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1917年6月17日（33歲）。籍貫：挪威（美籍）。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1950年、坎布里奇。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：奧斯陸大學(xué)，普林斯頓高等研究所。主要成就：數(shù)論中素?cái)?shù)定理的初等證明和對(duì)黎曼假設(shè)的貢獻(xiàn)；弱對(duì)黎曼空間中調(diào)和分析和不連續(xù)群及其狄里克雷級(jí)數(shù)的應(yīng)用；連續(xù)群的離子群研究。
姓名：小平邦彥（Kodaira Kunihiko）出生日期（獎(jiǎng)獲時(shí)年齡）：1915年3月16日（39歲）。籍貫：日本獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1954年、阿姆特斯丹。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：普林斯頓高等研究所。主要成就：推廣了代數(shù)幾何的一條中心定理：黎曼——羅赫定理。證明了狹義卡勒流形是代數(shù)流形，得到了小平邦彥消滅定理。
姓名：J.P.塞爾（Serre,Jean-pierre）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1926年9月15日（28歲）。籍貫：法國(guó)。獲獎(jiǎng)年度：地點(diǎn)：1954、阿姆斯特丹。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：巴黎大學(xué)。主要成就：發(fā)展了 纖維叢的概念，得出一般纖維的空間概念；解決了纖維、底空間、全空間的同調(diào)關(guān)系問(wèn)題，并由此證明了同倫論中最重要的一般結(jié)果；除了以前知道的兩種情形之外，球面的同倫群都是有限群；引進(jìn)了局部化方法把求同倫群的問(wèn)題加以分解，得出一系列重要結(jié)果。
姓名：K．F．羅斯（Roth，Klaus Friedrich）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1925年10月29日（33歲）。籍貫：德國(guó)（英藉）。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1958年、愛(ài)丁堡。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：倫敦大學(xué)。主要成就：建立了代數(shù)數(shù)有理逼近的瑟厄——西格爾——羅斯定理。
姓名：R．托姆（Thorn，Rene）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1923年9月2日（35歲）．籍貫：法國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1958年、愛(ài)丁堡獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：斯特拉斯堡 大學(xué)。主要成就：創(chuàng)立拓?fù)鋵W(xué)協(xié)邊理論、奇點(diǎn)理論、突變理論；提出了“托姆復(fù)形”、建立了微分流形的大范圍理論中的基本定理。
姓名： L．V．霍曼德?tīng)枺℉ormander，Lars Valter）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1931年1月24日（31歲）。籍貫：瑞典。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1962年、斯德哥爾摩。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：斯德哥爾摩 大學(xué)。主要成就：常系數(shù)線性偏微分算子理論；變數(shù)系線性偏微分方程解的存在性偽微分算子理論。
姓名：J．W．米爾諾（Milnor，John Willard）．出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1931年2月20日（31歲）。籍貫：美國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1962年、斯德哥爾摩。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：普林斯頓大學(xué)。主要成就：微分拓?fù)渲衅呔S球面上存在不同微分結(jié)構(gòu)的證明；否定了皮加萊主猜想；發(fā)展復(fù)配過(guò)、自旋配邊理論；代數(shù)K理論和復(fù)超曲面的奇點(diǎn)；對(duì)代教、代數(shù)數(shù)論作出了貢獻(xiàn)．
姓名：M．F．阿蒂雅（Atiyah，Michae Francis）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1924年4月22月（37歲）。籍貫：英國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1966年、莫斯科。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：牛津大學(xué)。主要成就：繪出了阿蒂雅——辛格指標(biāo)定理；為K理論的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)；解決了李群表示論、與規(guī)范場(chǎng)有關(guān)的代數(shù)幾何中的若干問(wèn)題，把不動(dòng)點(diǎn)原理推廣到一般形式。
姓名：P．J．科恩（Cohen，Paul Joseph）出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1934年4月2日（32歲）。藉貫：美國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1966年、莫斯科。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：斯坦福大學(xué)。主要成就：證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合公理系統(tǒng)彼此獨(dú)立，從而使連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成為一種既不能證明，又不能推翻的現(xiàn)代邏輯工具；對(duì)抽象調(diào)和分析頗有建樹(shù)。
姓名：A．格羅登迪克（Crothendieck，Alexandre）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1924年3月28日（38）歲。籍貫：法國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1966年、莫斯科。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：巴黎高等科學(xué)研究所。主要成就：創(chuàng)立了一整套現(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)抽象理論體系；在泛函分析中引入核空間、張量積；對(duì)同調(diào)代數(shù)也有建樹(shù)。
姓名：S．斯梅爾（Smale，Stephen）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1930年7月15日（36歲）。籍貫：美國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1966年、莫斯科。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：加州大學(xué)伯克利分校。主要成就：解決微分拓?fù)鋵W(xué)中廣義龐加萊猜想；創(chuàng)立現(xiàn)代抽象微分動(dòng)力系統(tǒng)理論；在數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)和運(yùn)籌學(xué)等方面也有重要貢獻(xiàn)。
姓名： A．貝克（Baker，Alan）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1939年8月19日（31歲）。籍貫：英國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1970年、尼斯。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：劍橋大學(xué)。主要成就：解決了數(shù)論中十幾個(gè)歷史悠久的困難問(wèn)題，范圍涉及超越數(shù)論、不定方程和代數(shù)數(shù)論等方面；在二次數(shù)域方面，他解決了高斯時(shí)代留下來(lái)的一個(gè)老問(wèn)題，肯定了類(lèi)數(shù)為1的虛二次數(shù)域只有9個(gè)。
姓名：廣中平佑（Hironaka Heisu-ke）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1931年4月9日（39歲）．籍貫：日本。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1970年、尼斯。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：哈佛大學(xué)。主要成就：完全解決了任何維數(shù)的代數(shù)簇的寄點(diǎn)解淚問(wèn)題，建立了相應(yīng)定理，并把這一結(jié)果向復(fù)流形推廣，對(duì)一般奇點(diǎn)理論作出了貢獻(xiàn)。
姓名：S．P．諾維科夫（Novikov，S．P．）出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1938年3月20日（32歲）．籍貫：蘇聯(lián)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1970年尼斯。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所。主要成就：微分拓?fù)鋵W(xué)配邊理論，葉狀結(jié)構(gòu)理論；證明了微分流形有理龐特里亞金示性類(lèi)的拓?fù)洳蛔冃?；孤立子理論?/p>
姓名：J．G．湯普遜（Thompson，John Grggs）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1932年10月13日（38歲）。籍貫：美國(guó)．獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1970年、尼斯。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：芝加哥大學(xué)主要成就：解決有限單群的伯恩賽德猜想和弗洛貝紐斯猜想，在有限群論方面作出了重要貢獻(xiàn)。
姓名：D．B．曼福德（Mumford，David Bryart）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1937年6月11日（37歲）。籍貫：英國(guó)（美籍）。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1974年、溫哥華。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：哈佛大學(xué)。主要成就：代數(shù)幾何學(xué)參模理論，他創(chuàng)造性地應(yīng)用了不變式理論，導(dǎo)致許多新結(jié)果，并由此產(chǎn)生了幾何不變式論；證明了代數(shù)曲面與代數(shù)曲線和高維代數(shù)簇有一個(gè)不同之處，對(duì)代數(shù)曲面的分類(lèi)作出了貢獻(xiàn)。
姓名： E．龐比里（Bombieri，Enrico）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1940年11月26日（34歲）。籍貫：意大利。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1974年、溫哥華。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：米蘭大學(xué)、比薩大學(xué)。主要成就：改進(jìn)數(shù)論大篩法，得出了所謂龐比里中值公式，證明了哥德巴赫猜想中的（1+3）；對(duì)極小曲面問(wèn)題的伯恩斯坦猜想提出了反例；有限單群分類(lèi)問(wèn)題中一類(lèi)李型單樣的唯一性證明。
姓名：C．費(fèi)弗曼（Fefferman，Charles）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1949年4月18日（29歲）。籍貫：美國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1978年、赫爾辛基。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：普林斯頓大學(xué)。主要成就：傅立葉級(jí)數(shù)收斂問(wèn)題及其與奇異積分算子的聯(lián)系；發(fā)現(xiàn)哈代空間H1與有界平均振動(dòng)函數(shù)空間BMO的對(duì)偶關(guān)系；給出非退化線性偏微分方程局部可解性的一個(gè)充分必要條件；證明一個(gè)具有光滑邊界的嚴(yán)格偽凸域到另外一個(gè)的雙全純映射可以光滑地延拓到邊界上。
姓名： P．德利漢（Deligne，Pierre）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1944年10月3日（34歲）。籍貫：比利時(shí)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1978年赫爾辛基。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：巴黎高等科學(xué)研究所。主要成就：解決代數(shù)幾何學(xué)中聯(lián)系素?cái)?shù)與有限域中代數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的韋伊猜想，以簡(jiǎn)潔清晰的證明解決了這一代數(shù)幾何的中心問(wèn)題，得到了ξ函數(shù)理論的“韋伊——德利涅定理”；對(duì)調(diào)和分析、多復(fù)變函數(shù)均有建樹(shù)。
姓名： D．奎倫（Quillen，Daniel）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1940年4月20日（38歲）。籍貫：美國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1978年、赫爾辛基。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：馬薩諸塞理工學(xué)院。主要成就：解決了代數(shù)X理論中亞當(dāng)斯猜想；得到K理論中塞爾猜想的證明，并開(kāi)始將代數(shù)歸結(jié)為拓?fù)?，?fù)配邊理論與形成代數(shù)K理論的基礎(chǔ)。他還在同倫理論，形式群理論，同調(diào)代數(shù)一有限群的上同調(diào)論等方面取得重要成果。
姓名：G．A．馬古利斯（Margulis，G．A．）出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1946年2月24日（32歲）。籍貫：蘇聯(lián)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1978年、赫爾辛基。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：莫斯科通訊研究所。主要成就：綜合地利用代數(shù)、分析和數(shù)論的近代成果，特別是各態(tài)遍歷性理論，徹底解決了關(guān)于李群的離散子群的賽爾伯格猜想。
姓名：A．孔耐（Connes，Alan）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1947年4月1日（35歲）。籍貫：法國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：華沙。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：巴黎高等科學(xué)研究所。主要成就：從事算子代數(shù)研究，引進(jìn)了新的不變量，將Ⅲ型代數(shù)分為子類(lèi)，進(jìn)一步把這些代數(shù)舊結(jié)為Ⅱ型代數(shù)及其自同構(gòu)，然后按外自同構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)歸類(lèi)，從根本上解決了J．馮諾依曼留下的代數(shù)分類(lèi)問(wèn)題。
姓名：W．色斯頓（Thurston，William）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1946年10月30日（36歲）．籍貫：美國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1983年、華沙。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：普林斯頓大學(xué)。主要成就：討論了三維流形上的葉狀結(jié)構(gòu)，并對(duì)一般流形上葉狀結(jié)構(gòu)的存在、性質(zhì)及其分類(lèi)得出了普遍的結(jié)果；他借助于電子計(jì)算機(jī)：基本完成了三維閉流形的拓?fù)浞诸?lèi)。
姓名：丘成桐（Yan Sheng－tung）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1949年4月4日（33歲）。籍貫：中國(guó)（美籍）。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1983年、華沙。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：普林斯頓高等研究所。主要成就：證明微分幾何中的卡拉比猜想；證明了廣義相對(duì)論中的正質(zhì)量猜想；并在高維閔科夫斯基問(wèn)題、三維流形的拓樸學(xué)與極小曲面等方面均有創(chuàng)見(jiàn)。
姓名：S．唐納森（Donaldson，simon）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1957年8月20日（29歲）。籍貫：英國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1986年、伯克利。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：牛津大學(xué)。主要成就：關(guān)于四維流形拓?fù)涞难芯?。他發(fā)現(xiàn)了四維幾何學(xué)中難以預(yù)料與神秘的現(xiàn)象，得出存在“怪異”四維空間的結(jié)論，即與標(biāo)準(zhǔn)歐氏空間R1拓?fù)渫叩晃⒎滞叩奈⒎至餍巍?/p>
姓名： G．福爾廷斯（Faltings，Gerd）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1954年7月25日（32歲）。籍貫：德國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1986年、伯克利。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：普林斯頓大學(xué)，烏珀塔爾大學(xué)。主要成就：用代數(shù)幾何學(xué)方法證明了數(shù)論中的莫德?tīng)柌孪?；他?duì)阿貝簇的參模空間、算術(shù)曲面的黎曼——定理、Padic霍奇理論等也有創(chuàng)見(jiàn)。
姓名：M．弗里德曼（Freedman，Michael）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1951年4月21日（35歲）。籍貫：美國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1986年、伯克利。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：加利福利亞大學(xué)，加州大學(xué)圣地亞哥分校。主要成就：證明了四維流形拓?fù)涞凝嫾尤R猜想，因而刻劃了球面S1，并且提供了對(duì)再一般的四維流形的、容易陳述但證明很難的分類(lèi)定理；對(duì)偏微分方程、相對(duì)論也有建樹(shù)。
姓名： V．德里費(fèi)爾德（Drinfel’d，Vladimir）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）；1954年（36歲）。籍貫：蘇聯(lián)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1990年、東京。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：哈爾科夫低溫物理研究所。主要成就：他的工作在“類(lèi)域”（Galois擴(kuò)張的分類(lèi)）的傳統(tǒng)理論之內(nèi)，即在算術(shù)領(lǐng)域之內(nèi)，但建立于代數(shù)幾何新對(duì)象的結(jié)構(gòu)上；他稱(chēng)之為模（modules）。他的主要成就與量子群有關(guān)，它是一些代數(shù)（Hopf代數(shù)），具有能連續(xù)變形的特征。
姓名： F．R．J．沃思（Vaughan，F(xiàn)．R．Jones）。出生日期（獲獎(jiǎng)年齡） 1953年（37歲）籍貫：新西蘭。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1990年、東京。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：加州大學(xué)伯克利分校。主要成就：扭結(jié)理論。他的工作與紐曼代數(shù)中的因子分?jǐn)?shù)有關(guān)，他發(fā)現(xiàn)了合痕的一個(gè)不變量，它是一個(gè)和1／的多項(xiàng)式（g是一個(gè)變量）：兩個(gè)同痕的結(jié)有相同的不變量。
姓名：森重文（Shigffumi MorD。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1951年2月23日（39歲）。籍貫：日本。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1990年、東京。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：京都數(shù)學(xué)科學(xué)研究所。主要成就：三維代數(shù)族的分類(lèi)。他建立了一種三維代數(shù)簇的分類(lèi)研究，他發(fā)現(xiàn)了一些變換，它們正好只存在于至少三維的情形：被稱(chēng)為“flip”，從而更新了廣中平佑對(duì)奇點(diǎn)的研究。
姓名： E．威滕（Witten，Edward）。出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1951年（38歲）。籍貫：美國(guó)。獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1990年、東京。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：普林斯頓高等研究所。主要成就：弦理論。他對(duì)“超弦理論”做出了很大貢獻(xiàn)，這一理論完全可能在相對(duì)性理論、量子力學(xué)和粒子相互作用之間做出統(tǒng)一的數(shù)學(xué)處理（這是A．愛(ài)因斯坦大半生追求的夢(mèng)想）。他證明了（在陳一Simons理論的所有情況下）狀態(tài)空間是二線的。
