一．克萊因瓶
1．三維空間中的克萊因瓶數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，克萊因瓶（Klein bottle）是指一種無定向性的平面，比如2維平面，就沒有“內(nèi)部”和“外部”之分。
2．克萊因瓶最初的概念提出是由德國數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因提出的?？巳R因瓶和莫比烏斯帶非常相像。克萊因瓶的結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單，一個(gè)瓶子底部有一個(gè)洞，現(xiàn)在延長(zhǎng)瓶子的頸部，并且扭曲地進(jìn)入瓶子內(nèi)部，然后和底部的洞相連接。
3．和我們平時(shí)用來喝水的杯子不一樣，這個(gè)物體沒有“邊”，它的表面不會(huì)終結(jié)。它也不類似于氣球 ，一只蒼蠅可以從瓶子的內(nèi)部直接飛到外部而不用穿過表面（所以說它沒有內(nèi)外部之分）。
二．克萊因瓶是什么？
1．在1882年，著名數(shù)學(xué)家菲立克斯?克萊因(Felix Klein)發(fā)現(xiàn)了后來以他的名字命名的著名“瓶子”。
2．這是一個(gè)象球面那樣封閉的（也就是說沒有邊）曲面，但是它卻只有一個(gè)面。在圖片上我們看到，克萊因瓶的確就象是一個(gè)瓶子。
3．但是它沒有瓶底，它的瓶頸被拉長(zhǎng)，然后似乎是穿過了瓶壁，最后瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會(huì)得到一個(gè)輪胎面。
4．具體分析我們可以說一個(gè)球有兩個(gè)面——外面和內(nèi)面，如果一只螞蟻在一個(gè)球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一個(gè)洞，就無法爬到內(nèi)表面上去。
5．輪胎面也是一樣，有內(nèi)外表面之分。但是克萊因瓶卻不同，我們很容易想象，一只爬在“瓶外”的螞蟻，可以輕松地通過瓶頸而爬到“瓶?jī)?nèi)”去——事實(shí)上克萊因瓶并無內(nèi)外之分！
6．在數(shù)學(xué)上，我們稱克萊因瓶是一個(gè)不可定向的二維緊致流型，而球面或輪胎面是可定向的二維緊致流型。在數(shù)學(xué)上，我們稱克萊因瓶是一個(gè)不可定向的二維緊致流型。
7．如果我們觀察克萊因瓶的圖片，有一點(diǎn)似乎令人困惑——克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點(diǎn)和瓶壁上的某些點(diǎn)占據(jù)了三維空間中的同一個(gè)位置。
8．但是事實(shí)卻非如此。事實(shí)是：克萊因瓶是一個(gè)在四維空間中才可能真正表現(xiàn)出來的曲面，如果我們一定要把它表現(xiàn)在我們生活的三維空間中，我們只好將就點(diǎn)，只好把它表現(xiàn)得似乎是自己和自己相交一樣。
9．事實(shí)上，克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，并不穿過瓶壁。這是怎么回事呢？我們用扭節(jié)來打比方。
10．如果我們把它看作平面上的曲線的話，那么它似乎自身相交，再一看似乎又?jǐn)喑闪巳?。但其?shí)很容易明白，這個(gè)圖形其實(shí)是三維空間中的曲線，它并不和自己相交，而且是連續(xù)不斷的一條曲線。
11．在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因?yàn)槲覀円阉嬙诙S平面上時(shí)，只好將就一點(diǎn)，把它畫成相交或者斷裂了的樣子。
12．克萊因瓶也一樣，這是一個(gè)事實(shí)上處于四維空間中的曲面。在我們這個(gè)三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣；就好像最高明的畫家，在紙上畫扭結(jié)的時(shí)候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。
13．題圖就是一個(gè)用玻璃吹制的克萊因瓶。性質(zhì)從拓?fù)鋵W(xué)角度上看，克萊因瓶可以定義為矩陣[0，1] × [0，1]，邊定義為 (0，y) ~ (y) 條件 0 ≤y≤ 1 和 (x，0) ~ (1-x，1) 條件 0 ≤x≤ 1可以用圖表示為 ----> ^ ^ | |
14．但是與之不同的是，克萊因瓶是一個(gè)閉合的曲面，也就是說它沒有邊界。莫比烏斯帶可以在三維的歐幾里德空間中嵌入，克萊因瓶只能適用于四維空間。
15．克萊因瓶與麥比烏斯帶大家大概都知道麥比烏斯帶。你可以把一條紙帶的一段扭180度，再和另一端粘起來來得到一條麥比烏斯帶的模型。
16．這也是一個(gè)只有一麥比烏斯帶、一個(gè)面的曲面，但是和球面、輪胎面和克萊因瓶不同的是，它有邊（注意，它只有一條邊）。
17．如果我們把兩條麥比烏斯帶沿著它們唯一的邊粘合起來，你就得到了一個(gè)克萊因瓶（當(dāng)然不要忘了，我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個(gè)粘合，否則的話就不得不把紙撕破一點(diǎn)）。
18．同樣地，如果把一個(gè)克萊因瓶適當(dāng)?shù)丶糸_來，我們就能得到兩條麥比烏斯帶。除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的“8字形”克萊因瓶。
19．它看起來和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實(shí)就是同一個(gè)曲面——克萊因瓶?？巳R因瓶的制造事實(shí)上，德國數(shù)學(xué)家克萊因就曾提出了“不可能”設(shè)想，即拓?fù)鋵W(xué)的大怪物——克萊因瓶。
20．這種瓶子根本沒有內(nèi)、外之之分，無論從什么地方穿透曲面，到達(dá)之處依然在瓶的外面，所以，它本質(zhì)上就是一個(gè)“有外無內(nèi)”的古怪東西。
21． 盡管現(xiàn)代玻璃工業(yè)已經(jīng)發(fā)展得非常先進(jìn)，但是，所謂的“克萊因瓶，卻始終是大數(shù)學(xué)家克萊因先生腦子里頭的“虛構(gòu)物”，根本制造不出來。
22．許多國家的數(shù)學(xué)家老是想造它一個(gè)出來，作為獻(xiàn)給國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的禮物。然而，等等他們的是一個(gè)失敗接著一個(gè)失敗。
23． 也有人認(rèn)為，即使造不出玻璃制品，能造出一個(gè)紙模型也不錯(cuò)呀。如果真的解決了這個(gè)問題，那可是個(gè)大收獲?。?/p>
24．但實(shí)際上，據(jù)說克萊因瓶已經(jīng)被人制造出來了。在郭凱聲等編著的《數(shù)學(xué)游戲》（下）一書的“玻璃克萊因瓶”一文中有清楚的介紹。
25．茲引錄部分如下：Alan Bennett是英國貝德福德的一位玻璃吹制工。幾年前，他開始對(duì)拓?fù)鋵W(xué)中出現(xiàn)的各種神秘的形狀――墨比烏斯帶、克萊因瓶等等――發(fā)生興趣，并遇到了一個(gè)新奇的難題，數(shù)學(xué)家本會(huì)通過計(jì)算來嘗試解決這個(gè)難題，而Bennett則用玻璃解決了它。
26．他做出的一系列引人注目的物品很快就將成為倫敦科學(xué)博物館中的一項(xiàng)永久性陳列品?？巳R因瓶的一些應(yīng)用猜想如果麥比烏斯帶能夠完美的展現(xiàn)一個(gè)“二維空間中一維可無限擴(kuò)展之空間模型”的話，克萊因瓶只能作為展現(xiàn)一個(gè)“三維空間中二維可無限擴(kuò)展之空間模型”的參考。
27．因?yàn)樵谥谱鼷湵葹跛箮У倪^程中，我們要對(duì)紙帶進(jìn)行180度翻轉(zhuǎn)再首尾相連，這就一個(gè)三維空間下的操作。理想的“三維空間中二維可無限擴(kuò)展之空間模型”應(yīng)該是在二維面中，朝任意方向前進(jìn)都可以回到原點(diǎn)的模型，而克萊因瓶雖然在二維面上可以向任意方向無限前進(jìn)，但是只有在兩個(gè)特定的方向上才會(huì)回到原點(diǎn)，并且只有在其中一個(gè)方向上，回到原點(diǎn)之前會(huì)經(jīng)過一個(gè)“逆向原點(diǎn)”，真正理想的“三維空間中二維可無限擴(kuò)展之空間模型”也應(yīng)該是在二維面上朝任何方向前進(jìn)，都會(huì)先經(jīng)過一次“逆向原點(diǎn)”，再回到原點(diǎn)。
28．而制作這個(gè)模型，則需要在四維空間上對(duì)三維模型進(jìn)行扭曲。數(shù)學(xué)中有一個(gè)重要分支叫“拓?fù)鋵W(xué)”，主要是研究幾何圖形連續(xù)改變形狀時(shí)的一些特征和規(guī)律的，克萊因瓶和麥比烏斯帶變成了拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的問題之一。
29．麥比烏斯帶的概念被廣泛地應(yīng)用到了建筑，藝術(shù)，工業(yè)生產(chǎn)中?？巳R因瓶的發(fā)明人介紹菲立克斯·克萊因克萊因在杜塞爾多夫讀的中學(xué)，畢業(yè)后，他考入了波恩大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理。
30．他本來是想成為一位物理學(xué)家，但是數(shù)學(xué)教授普律克改變了他的主意。1868年克萊因在普律克教授的指導(dǎo)下完成了博士論文。
31．在這一年里，普律克教授去世了，留下了未完成的幾何基礎(chǔ)課題。克萊因是完成這一任務(wù)的最佳人選。后來克萊因又去服了兵役。
32．1871年，克萊因接受哥廷根大學(xué)的邀請(qǐng)擔(dān)任數(shù)學(xué)講師。1872年他又被埃爾朗根大學(xué)聘任為數(shù)學(xué)教授，這時(shí)他只有23歲。
33．1875年他在慕尼黑高等技術(shù)學(xué)院取得了一個(gè)教席。在這里，他的學(xué)生包括胡爾維茨、馮戴克、洛恩、普朗克、畢安奇和里奇。
34．五年之后，克萊因應(yīng)邀去萊比錫大學(xué)講授幾何學(xué)。在這里他和他過去的出色的學(xué)生馮戴克、洛恩、司徒迪和恩格爾等成為了同事。
35．1886年，克萊因接受了哥廷根大學(xué)的邀請(qǐng)來到哥廷根，開始了他的數(shù)學(xué)家的生涯。他講授的課程非常廣泛，主要是在數(shù)學(xué)和物理之間的交叉課題，如力學(xué)和勢(shì)論。
36．他在這里直到1913年退休。他實(shí)現(xiàn)了要重建哥廷根大學(xué)作為世界數(shù)學(xué)研究的重要中心的愿望。 著名的數(shù)學(xué)雜志《數(shù)學(xué)年刊》就是在克萊因的主持管理下才能在重要性上達(dá)到和超過了《克萊爾雜志》的。
37．這本雜志在復(fù)分析、代數(shù)幾何和不變量理論方面很有特色。在實(shí)分析和群論新領(lǐng)域也很出色。 要了解克萊因?qū)υ趲缀螌W(xué)上所作的貢獻(xiàn)的特點(diǎn)是有點(diǎn)難的，因?yàn)榧词褂梦覀兘裉鞌?shù)學(xué)思想的大部分來理解他的結(jié)果的新奇之處也是很困難的。
38．克萊因在數(shù)學(xué)上做出的第一個(gè)貢獻(xiàn)是在1870年與李合作發(fā)現(xiàn)的。他們發(fā)現(xiàn)了庫默爾面上曲線的漸近線的基本性質(zhì)。
39．他進(jìn)一步地與李合作研究W-曲線。1871年克萊因出版了兩篇有關(guān)非歐幾何的論文，論文中證明了如果歐氏幾何是相容的，那么非歐幾何也是相容的。
40．這就把非歐幾何置于與歐氏幾何同樣堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上?？巳R因在他的著名的埃爾朗根綱領(lǐng)中，以變換群的觀點(diǎn)綜合了各種幾何的不變量及其空間特性，以此為標(biāo)準(zhǔn)來分類，從而統(tǒng)一了幾何學(xué)。
41．今天這些觀點(diǎn)已經(jīng)成為大家的標(biāo)準(zhǔn)。變換在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中扮演者主要角色?？巳R因指明了如何用變換群來表達(dá)幾何的基本特性的方法。
42．而克萊因自己認(rèn)為他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要在函數(shù)理論上。1882年他在一篇論文中用幾何方法來處理函數(shù)理論并把勢(shì)論與保形映射聯(lián)系起來。
43．他也經(jīng)常把物理概念用在函數(shù)理論上，特別是流體力學(xué)?？巳R因?qū)Υ笥谒拇蔚姆匠烫貏e是用超越方法來解五次的一般方程感興趣。
44．在厄爾米特和克隆耐克爾建立了與布里奧斯奇類似的方法之后，克萊因立刻就用二十面體群去試圖完全解決這個(gè)問題。
45．這個(gè)工作導(dǎo)致他在一系列論文中對(duì)橢圓模函數(shù)的研究。1884年，克萊因在他的一本關(guān)于二十面體的重要著作中，得到了一種連接代數(shù)與幾何的重要關(guān)系，他發(fā)展了自守函數(shù)論。
46．他和一位來自萊比錫的數(shù)學(xué)家羅伯特·弗里克合作出版了一套四卷本的關(guān)于自守函數(shù)和橢圓模函數(shù)的著作，這本著作影響以后20年。
47．另一個(gè)計(jì)劃是出版一套數(shù)學(xué)百科全書。他積極地參與到這個(gè)工作中，與K·穆勒一起編輯力學(xué)部分的四卷。我們還要提到克萊因發(fā)現(xiàn)的克萊因瓶，一種只有一個(gè)面的曲面。
48．1885年克萊因被英國皇家學(xué)會(huì)選為國外會(huì)員并被授予科普勒獎(jiǎng)金。 1908年克萊因被國際數(shù)學(xué)會(huì)選為在羅馬召開的數(shù)學(xué)家大會(huì)主席。
49． 克萊因瓶的商業(yè)應(yīng)用以前克萊因瓶只是拓?fù)鋵W(xué)上的寵物，現(xiàn)在它終于走向了人們?？巳R因杯的內(nèi)壁和和外壁其實(shí)是一個(gè)連通的整體，所以它有兩層，內(nèi)層杯和外層杯。
50．它的內(nèi)膽是一個(gè)小杯，它的杯壁和手柄的內(nèi)部構(gòu)成另外一個(gè)外杯。你可以在兩層杯子上都裝上不同的液體。（就像鴛鴦火鍋？
三．關(guān)于百科上介紹的克萊因瓶
1．這個(gè)瓶子本來就是數(shù)學(xué)上 想象出來的，克萊因瓶在三維空間中是不可能的，如果非要在三維中要做到完美的克萊因瓶，那它穿過自己的那段就是一個(gè)“蟲洞”，而加上這個(gè)連接瓶頸和瓶底的蟲洞，那它就成四維的了，所以說克萊因瓶是不可能在三維中實(shí)現(xiàn)的。
四．神馬是克萊因瓶？？？？？？？？
1．三維空間中的克萊因瓶數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，克萊因瓶（Klein bottle）是指一種無定向性的平面，比如2維平面，就沒有“內(nèi)部”和“外部”之分。
2．克萊因瓶最初的概念提出是由德國數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因提出的?？巳R因瓶和莫比烏斯帶非常相像?？巳R因瓶的結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單，一個(gè)瓶子底部有一個(gè)洞，現(xiàn)在延長(zhǎng)瓶子的頸部，并且扭曲地進(jìn)入瓶子內(nèi)部，然后和底部的洞相連接。
3．和我們平時(shí)用來喝水的杯子不一樣，這個(gè)物體沒有“邊”，它的表面不會(huì)終結(jié)。它也不類似于氣球 ，一只蒼蠅可以從瓶子的內(nèi)部直接飛到外部而不用穿過表面（所以說它沒有內(nèi)外部之分）。
